Dubna1mHBC Spektatorovy model

Spektátorový model

Priame jadrové reakcie

Priame jadrové reakcie sa odohrávajú za charakteristickú dobu rádovo [math]\displaystyle{ 10^{-23} - 10^{-22} s }[/math], t.j. čas potrebný, aby nukleón preletel cez jadro. Tento krátky časový úsek umožní interakciu prevážne s jedným nukleónom alebo s malým počtom nukleónov na povrchu jadra. Platnosť tohto približenia vyžaduje, aby kinetická energia nalietavajúcej častice bola väčšia ako [math]\displaystyle{ \approx 5 MeV/A }[/math], kde [math]\displaystyle{ A }[/math] je atomové číslo projektilu. Produkty reakcie, na rozdiel od mechanizmu zloženého jadra, nie sú rozdelené izotropicky, ale sú "vytiahnuté" v prednom smere - v smere hybnosti nalietavajúcej častice.

V tomto priblížení je rozumné očakávať, že časť jadra, ktorá sa interakcie "nezúčastní" alebo málo ovplyvňuje výsledok interakcie zachová pôvodné charakteristiky, ktoré mala v jadre. Tieto fragmenty jadra zvykneme nazývať spektátory ("diváci"). V prípade zväzkov jadier nalietavajúcich na protónový terčík rozdelenia hybnosti fragmentov vykazujú maximá okolo hodnôt [math]\displaystyle{ p_{f} \approx m_{f}\frac{p_{beam}}{m_{beam}} }[/math] alebo jednoducho [math]\displaystyle{ p_{f} \approx A_{f}\frac{p_{beam}}{A_{beam}} }[/math].

Experimentálne výsledky ožarenia 1m vodíkovej bublinovej komory SÚJV zväzkami ľahkých jadier

Pre ilustráciu sú uvedené rozdelenia hybnosti fragmentov [math]\displaystyle{ ^{16}O }[/math] pre hybnosť nalietavajúceho [math]\displaystyle{ ^{16}O p=3.3 GeV/c/A }[/math]. Izotópy vodíka sa jasne rozdeľujú podľa hybnosti ako ukazuje obrázok.

Rozdelenie hybnosti jednonabitých fragmentov ¹⁶O.

Nasledujúci obrázok ukazuje rozdelenie hybnosti viacnabitých fragmentov jadra [math]\displaystyle{ ^{16}O }[/math]. Podľa hybnosti sa rozlišujú iba fragmenty s nábojom 2, kde štatistika prípadov je dostatočná.Fragmnety s nábojmi [math]\displaystyle{ Z \gt 2 }[/math] kvôli malej štatistike sa zlievajú.

Rozdelenie hybnosti viacnabitých fragmentov ¹⁶O.

Spektátorové nukleóny z ožarenia 1m vodíkovej bublinovej komory SÚJV zväzkami deuterónov pri hybnosti 3.35 GeV/c

Štúdium kanálu bezpiónovej dezintegrácie dp→ppn

Hybnosti fragmentov jadra ¹⁶O sa rozumejú v laboratornej sústave, t.j. v kľudovej sústave protónového terčíka. Pre štúdium vlastnosti spektátorových častíc je vhodnejšia kľudová sústava jadra, kde ich uhlové rozdelenie je izotrópne. V ďalšom, ak nebude inač uvedené, všetky veličiny budú uvedené v kľudovej sústave jadra. Rozdelenia hybnosti spektátorov sa dobre popisujú v modeli výmeny jednej častice (jednopólový mechanizmus) až do hodnôt [math]\displaystyle{ p \simeq \sqrt{2m\epsilon} }[/math], kde [math]\displaystyle{ m }[/math] je redukovaná hmotnosť vymenenej a spektátorovej častice a [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] je ich väzbová energia v jadre. Tato oblasť hybnosti pre deuteron predstavuje [math]\displaystyle{ p \simeq 200 MeV/c }[/math].

Interakcia deuterónu s protónom sa prevažne uskutočňuje cez výmenu jedného nukleónu a druhý nukleón jadra má slabý vplyv na výsledok reakcie. Najjeduchším príkladom, kde takýto mechanizmus prevažuje, je dezintegrácia deuterónu bez produkcie [math]\displaystyle{ \pi }[/math] mezónu, t.j. kanál [math]\displaystyle{ dp\rightarrow ppn }[/math]. Tento kanál sa prirodzeným spôsobom rozdeľuje na dve časti:

priamy kanál (charge retention), kde najrýchlejšia častica je protón a
kanál s výmenou náboja, kde kde najrýchlejšia častica je neutrón.

Rozdelenie polárneho uhla

Rozdelenia cosinu polárneho uhla v rôznych intervaloch hybnosti sú uvedené na nasledujúcom obrázku, do histogramov sú zahrnuté všetky deuteronóve expozície. Červená čiara je výsledok fitu konštantnej funkcie k údajom.

Rozdelenia cosθ najpomalšieho nukleóna v závislosti od hybnosti spektátora pre priamy kanál (ľavý stplec) a kanál s výmenou náboja (pravý stplec) z reakcie dp→ppn všetky expozície.

Tabuľka obsahuje: stredné hodnoty, asymetrie a šikmosti (skewness) rozdelení cosinu polárneho uhla najpomalšieho nukleóna, z predošlého obrázka, pre priamy kanál a kanál s výmenou náboja v štyroch intervaloch hybnosti.

Stredné hodnoty, asymetria a skewness rozdelení cosθ spektatora vsetky expozície
Momenta GeV/c	Charge Retention dp->p(pn)			Charge Exchange dp->n(pp)
Momenta GeV/c	Mean	Asymmetry	Skewness	Mean	Asymmetry	Skewness
p_S<1.00	0.066±0.002	0.098±0.002	-0.137±0.008	0.011±0.004	0.028±0.006	-0.050±0.019
p_S<0.08	0.031±0.003	0.045±0.003	-0.062±0.012	-0.002±0.007	-0.003±0.008	-0.005±0.028
0.08≦p_S<0.20	0.076±0.003	0.103±0.004	-0.137±0.014	0.013±0.009	0.014±0.011	-0.028±0.036
0.20≦p_S<1.00	0.168±0.005	0.274±0.007	-0.357±0.023	0.034±0.008	0.101±0.011	-0.165±0.038

Stredné hodnoty, asymetria a skewness rozdelení cosθ spektatora iba nepolarizované zväzky expozície
Momenta GeV/c	Charge Retention dp->p(pn)			Charge Exchange dp->n(pp)
Momenta GeV/c	Mean	Asymmetry	Skewness	Mean	Asymmetry	Skewness
p_S<1.00	0.055±0.003	0.081±0.004	-0.114±0.012	0.027±0.007	0.051±0.009	-0.086±0.029
p_S<0.08	0.016±0.004	0.022±0.005	-0.031±0.017	0.015±0.010	0.026±0.013	-0.048±0.042
0.08≦p_S<0.20	0.067±0.005	0.088±0.006	-0.115±0.021	0.033±0.013	0.038±0.017	-0.069±0.055
0.20≦p_S<1.00	0.169±0.007	0.277±0.010	-0.352±0.033	0.045±0.013	0.114±0.017	-0.190±0.057

Rozdelenie spektátorov by malo byť izotrópne, t.j. cosinus polárneho uhla a azimutálneho roznomerne rozdelené. Ako vidieť z obrázkov a tabuľky rozdelenia cosinu polárneho uhla okrem rovnomernej časti je prítomná určita asymetria. Mierou asymetrie rozedelenia môžu byť nasledujúce parametre:

stredná hodnota rozdelenia [math]\displaystyle{ \overline{x} }[/math] (v našom prípade) by mala byť nulová
predozadná asymetria (v našom prípade) by mala byť nulová [math]\displaystyle{ A = \frac{N(cos\theta\gt 0)-N(cos\theta\lt 0)}{N(cos\theta\gt 0)+N(cos\theta\lt 0)} }[/math], kde [math]\displaystyle{ N(cos\theta\gt 0) }[/math] a [math]\displaystyle{ N(cos\theta\lt 0) }[/math] je suma váh prípadov v prednej resp. zadnej hemisfére.
šikmosť (skewness) definovaná pomocou tretieho centrálneho momentu rozdelenia, ako [math]\displaystyle{ \gamma_{1}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{n}\frac{(x_{i}-\overline{x})^{3}}{\sigma^{3}} }[/math], kde [math]\displaystyle{ N }[/math] je suma váh prípadov v histograme, [math]\displaystyle{ n }[/math] je počet prípadov v histograme, [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] je štandardná odchýľka rozdelenia. Záporná hodnota šikmosti znamená, že rozdelenie je vytiahnuté k väčším hodnotám (vpravo).
ďalším príznakom asymetrie rozdelenia je vzťah medzi strednou hodnotou, medianom a modom - nebudeme ich uvažovať.

Pre obidve časti kanálu dp→ppn platí, rastom hybnosti asymetria rozdelenia rastie. Minimum dosiahne v intervale hybnosti [math]\displaystyle{ p \lt 0.2 GeV/c }[/math]. Prítomnosť asymetrickej časti súvisí s celkovou kinematikou reakcie - flux faktor, resp. s limitáciou použitia jednopolóveho mechanizmu.

Porovnanie hybnosti spektátorov v kanále s výmenou náboja a v priamom kanále

Nasledujúci obrázok ukazuje prevýšenie rozdelenia najpomalších nukleónov v kanále s výmenou náboja nad priamym kanálom v oblasti p > 200 MeV/c. Priamy kanál je normalizovaný na oblasť p < 200 MeV/c nábojovej výmeny. Histogramy obsahujú všetky deuterónové expozície. Prevýšenie v skúmanej obôlasti predstavuje približne 15%, čo svedčí prítomnosti rôznych mechanizmov v jednotlivých kanáloch.

Porovnanie rozdelení hybnosti najpomalšieho nukleóna pre priamy kanál a kanál s výmenou náboja z reakcie dp→ppn všetky deuterónové expozície.

Porovnanie hybnosti spektátorov s vlnovými funkciami

Na popis rozdelenia hybnosti spektátorových nukleónov v literatúre bolo použitých niekoľko vlnových funkcií deuterónu. Bez nároku na úplnosť uvediem iba klasické a najjednoduchšie z nich (Alberi INFN-AE-73-1 https://www.lnf.infn.it/sis/preprint/getfilepdf.php?filename=INFN-AE-73-1.pdf, V. M. KOLYBASOV, A. E. KUDRYAVTSEV Soviet Physics JETP 36(18) 1973 http://www.jetp.ras.ru/cgi-bin/dn/e_036_01_0018.pdf):

asymptotická vlnová funkcia: [math]\displaystyle{ \psi_{0}(p) \sim \frac{1}{\alpha^{2}+p^{2}} }[/math], kde [math]\displaystyle{ p }[/math] je hybnosť nukleónu v deuteróne a [math]\displaystyle{ \alpha^{2} = m_{d}\epsilon }[/math], hmotnosť a väzbová energia deuterónu.
Hulthénova vlnová funkcia: [math]\displaystyle{ \psi_{0}(p) \sim \frac{1}{\alpha^{2}+p^{2}} - \frac{1}{\beta^{2}+p^{2}} \sim \frac{1}{(\alpha^{2}+p^{2})(\beta^{2}+p^{2})} }[/math], kde [math]\displaystyle{ \beta^{2} = 0.24 GeV^{2} }[/math].
Gartenhausova-Moravcsikova vlnová funkcia: [math]\displaystyle{ \psi_{0}(p)\sim \sum_{i=1}^{8}\frac{(-1)^{i}}{\alpha_{i}^{2}+p^{2}} }[/math], kde koeficienty [math]\displaystyle{ \alpha_{i} = [0.5382, 0.8514, 0.3589, 0.8668, 0.3743, 0.6875, 1.18003, 0.04570] }[/math] som prebral z preprintu Alberi INFN-AE-73-1.
Gaussova vlnová funkcia: [math]\displaystyle{ \psi_{0}(p) \sim e^{-\gamma p^{2}/2} }[/math], kde [math]\displaystyle{ \gamma = \frac{1}{(86 MeV/c)^{2}} }[/math] podľa Kolybasova-Kudryavtseva. Tato parametrizácia je ekvivalentná s parametrizáciou Alberiho.
Multigaussova vlnová funkcia:

[math]\displaystyle{ \psi_{0}(p)\sim \sum_{i=1}^{5}F_{i}e^{-\eta_{i}p^{2}} }[/math], pre S stav deuterónu, kde [math]\displaystyle{ F_{i} = [4.9965, 24.3705, 9.4082, 2.1399, -0.06246] }[/math] a [math]\displaystyle{ \eta_{i} = [42034.129, 408.220, 87.934, 21.495, 1.702] }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi_{2}(p)\sim \sum_{i=1}^{5}G_{i}e^{-\xi_{i}p^{2}} }[/math], pre D stav deuterónu, kde [math]\displaystyle{ G_{i} = [4.2061, 30.3101, 15.1201, 106.8280, 266.3585] }[/math] a [math]\displaystyle{ \xi_{i} = [7.925, 28.461, 111.632, 99.161, 388.459] }[/math]

Hodnoty parametrov [math]\displaystyle{ F_{i}, \eta_{i}, G_{i}, \xi_{i} }[/math] podľa Alberiho.

Potom rozdelenie hybnosti spektátorov bude dané ako :

[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dp} \sim [\psi_{0}^{2}(p)+\psi_{2}^{2}(p)]p^{2} }[/math].

Očakávané rozdelenia [math]\displaystyle{ \frac{dN}{dp} }[/math] budú normované na oblasť [math]\displaystyle{ p_{s}\lt 0.2GeV/c }[/math] a na maximá. Gausssova vlnová funkcia so zvoleným parametrom zle popisuje experimnetálne údaje. Hulthénova vlnová funkcia s dvoma nastavenými parametrami vystihuje priebeh údajov pre priamy kanál do oblasti priblížne [math]\displaystyle{ p_{s}\lt 0.2GeV/c }[/math], vysohybnostnú časť pohodnotí, pre nábojovú výmenu v tej istej oblasti popis je menej presvedčivý. Asymptotická vlnová funkcia s jedným parametrom podchytí rozumne oblasť [math]\displaystyle{ p_{s}\gt 0.2GeV/c }[/math] pre prípady priameho kanála. Multigaussova vlnová funkcia - 20 parametrov - lepšie popisuje údaje v priamom kanále ako Gartenhaus-Moravcsikova - 8 parametrov - hlavne na chvoste, do [math]\displaystyle{ p_{s} \simeq 120 MeV/c }[/math] obe reprodukujú údaje. V nábojovej výmene oba popisy súhlasia s údajmi do [math]\displaystyle{ p_{s} \simeq 160 MeV/c }[/math] a nad [math]\displaystyle{ p_{s} \simeq 200 MeV/c }[/math] dajú prevýšenie priblížne 19% resp. 23%. Ukážka porovnania týchto dvoch vlnových funkcií je na nasledujúcich grafoch.

Porovnanie rozdelení hybnosti najpomalšieho nukleóna pre priamy kanál z reakcie dp→ppn s vlnovou funkciou Gartenhausa-Moravcsika pre všetky deuterónové expozície.

Porovnanie rozdelení hybnosti najpomalšieho nukleóna pre priamy kanál z reakcie dp→ppn s Multigaussovou vlnovou funkciou pre všetky deuterónové expozície.

Porovnanie rozdelení hybnosti najpomalšieho nukleóna pre kanál s výmenou náboja z reakcie dp→ppn s vlnovou funkciou Gartenhausa-Moravcsika pre všetky deuterónové expozície.

Porovnanie rozdelení hybnosti najpomalšieho nukleóna pre kanál s výmenou náboja z reakcie dp→ppn s Multigaussovou vlnovou funkciou pre všetky deuterónové expozície.

Poznámka k rozdeleniu hybnosti spektátorov. Uvedený spôsob porovnania experimentálnych údajov treba chápať ako hrubé priblíženie. Pre vernejšiu reprodukciu experimentálnych výsledkov bolo by za potreby spočítať jednopólový diagram s výmenou nukleónu, zahrnutím vlnovej funkcie jadra.

Diagram znázorňujúci výmenu jedného nukleónu - jednopólový mechanizmus jadrovej reakcie.

Rozdelenie kvadrátu odovzdanej štvorhybnosti

Kvadrát odovzdanej štvorhybnosti [math]\displaystyle{ t }[/math] pre študovanú reakciu definujeme ako kvadrát rozdielu štvorhybnosti terčíkového protónu a odrazenej častice. Tieto nukleóny je ľahšie a názornejšie identifikovať v kľudovej sústave zväzkového deuterónu (ALAB), ako kvadrát rozdielu štvorhybnosti primárneho protónu a najrýchlejšieho nukleónu (F):

[math]\displaystyle{ t = (P_{p} - P_{F})^{2}. }[/math]

V literatúre jeho rozdelenie sa obyčajne fituje exponenciálnou funkciou s dvoma alebo troma parametrami [math]\displaystyle{ a }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math] a [math]\displaystyle{ c }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} = a e^{bt} }[/math], resp. [math]\displaystyle{ \hspace{0.5cm} \frac{dN}{dt} = a e^{bt+ct^{2}} }[/math],

kde [math]\displaystyle{ b }[/math] sa nazýva sklonom rozdelenia a jeho hodnotu možno spojiť s mechanizmom reakcie,

[math]\displaystyle{ t \lt 0 }[/math] je časovo podobná veličina.

Experimentálne hodnoty sa dajú nájsť napr. v Benary O. et al., NN and ND Interactions a Compilation, UCRL 20000 NN 1970, https://www.osti.gov/servlets/purl/4051888/. Pre hybnosti blízke pre študovanú reakciu sú uvedené nasledujúce hodnoty pre prametre [math]\displaystyle{ b }[/math] a [math]\displaystyle{ c }[/math] (hodnoty parametra [math]\displaystyle{ a }[/math] pre túto analýzu sú irrelevantné):

pp elastic dσ/dt=aexp(bt), t<0, 0.03<|t|<0.3

(Benary O. et al. fit) page 42
pbeam	a	b
GeV/c	-	(GeV/c)^-2
1.45	-	4.98 ± 0.5
1.549	-	6.27 ± 0.64

np forward elastic scattering data dσ/dt = a exp(bt), t < 0

(authors' fit) page 141
pbeam	\|t \|_min	\|t\|_max	b
GeV/c	(GeV/c)²	(GeV/c)²	(GeV/c)^-2
1.697	0.1	0.4	6.321 ± 0.647
1.7	0.1	0.5	5.5 ± 0.800
1.7	0.1	0.4	5.66 ± 0.540

pp elastic dσ/dt = a exp(bt + ct²), t<0, |t|<0.3

(authors' fit) page 42
pbeam	a	b	c
[GeV/c]	-	(GeV/c)^-2	(GeV/c)^-4
1.5	-	6.51 ± 0.34	3.56 ± 0.39
1.6	-	7.20 ± 0.49	3.8 ± 0.57
1.7	-	7.66 ± 0.59	4.39 ± 0.72

Výsledky fitovania pre priamy kanál [math]\displaystyle{ dp \rightarrow ppn }[/math] sú uvedené na nasledujúcich obrázkoch:

Rozdelenie kvadrátu odovzdanej štvorhybnosti od protónu k najrýchlejšiemu nukelonu v priamom kanále z reakcie dp→ppn, fitované exponenciálnou funkciou s jedným sklonom dN/dt = a exp(bt) v intervale t ∈(-0.3, -0.08) (GeV/c)².

Porovnanie hodnôt získaných skolonov s publikovanými ukazuje na rozumnú zhodu výsledkov. Pričom treba brať v úvahu, že ide o rozptyl na viazaných nukleónoch a časť odovzdanej štvorhybnosti je potrebná na vynesenie týchto nukleónov na hmotnostnú nadplochu, čo sa odráža v menších hodnotách sklonov. Pokles počtu prípadov v oblasti t > -0.08 (GeV/c)² bude vysvetlený v nasledujúcej časti.

Metodické príčiny nedostatku prípadov v oblasti t > -0.08 (GeV/c)²

Porovnanie rozdelení t pre všetky prípady s rozdelením pre merané dĺžky dráh [math]\displaystyle{ l\lt 15 cm }[/math] ukazuje, že stráty sú sústredené v tejto oblasti.

Rozdelenie kvadrátu odovzdanej štvorhybnosti od protónu k najrýchlejšiemu (ALAB sústava) nukleónu v priamom kanále z reakcie dp→ppn, pre všetky prípady (modrá ) a pre prípady s meranou dĺžkou menšou ako 15 cm (červená).

Na nasledujúcom obrázku sú porovnané azimutálne rozdelenia odrazených protónov (LAB systém) pre meranú dĺžku dráhy [math]\displaystyle{ l\lt 15 cm }[/math] s vlastnou podmnožinou prípadov, kde ešte naviac [math]\displaystyle{ t \gt -0.08 (GeV/c)^2 }[/math] vidíme nedostatok prípadov v okolí azimutálneho uhla [math]\displaystyle{ \phi = \pm 90^\circ }[/math]. Tieto dráhy sú veľmi blízke ku kolmici na rovinu fotografovania (vrchné sklo komory) priemety ich priestorová rekonštrukcia z priemetov na túto rovinu je menej pravdepodobná ako u dráh mimo tohto intervalu azimutálneho uhla.

Rozdelenie azimutálneho uhla odrazeného protónu (LAB sústava) v priamom kanále z reakcie dp→ppn, pre prípady s meranou dĺžkou menšou ako 15 cm (modrá ) a zúžený vlastný podsúbor s [math]\displaystyle{ t \gt -0.08 (GeV/c)^2 }[/math](červená). Zvislé červené čiary odpovedajú azimutálnemu uhlu [math]\displaystyle{ \phi = \pm 90^\circ }[/math].